200 bài tập lượng giác có lời giải chi tiết

Bài tập lượng giác có lời giải chi tiết được các thầy cô chuyên luyện thi đại học cao đẳng biên soạn.

Bài tập về tính giá trị lượng giác

Hôm nay các em học sinh hãy ứng dụng các công thức đã cho để làm bài tập về tính giá trị lượng giác của các góc.

Bài 1: $\displaystyle \sin \alpha =-\frac{3}{5}\left( {\pi <\alpha <\frac{{3\pi }}{2}} \right).T\text{ }\!\!\acute{\mathrm{i}}\!\!\text{ nh cos}\alpha \text{,tan}\alpha \text{,cot}\alpha \text{.}$

Bài 2: Cho 5cosa + 4 = 0 Với $\displaystyle \left( {{{{180}}^{o}}<a<{{{270}}^{o}}} \right)$
 

Tính sina , tana, cota.

Bài 3: Cho $\displaystyle \tan {{15}^{o}}=2-\sqrt{3}.\,\,\,\,\,T\text{ }\!\!\acute{\mathrm{i}}\!\!\text{ nh}\,\,\text{sin1}{{\text{5}}^{\text{o}}},\cos {{15}^{o}},\cot {{15}^{o}}.$

Bài 4: Tính $\displaystyle A=\frac{{\tan x+\cot x}}{{\tan x-\cot x}}$ biết $\displaystyle \text{sinx = }\frac{\text{1}}{\text{3}}$

Tính $\displaystyle B=\frac{{2\sin x+3\cos x}}{{3\sin x-2\cos x}}$ biết tanx = -2

Tính $\displaystyle C=\frac{{{{{\sin }}^{2}}x+3\sin x\cos x-2{{{\cos }}^{2}}x}}{{1+4{{{\sin }}^{2}}x}}$ biết cotx = -3

Bài 5: Chứng minh:  

a, $\displaystyle \text{si}{{\text{n}}^{\text{4}}}\text{x+co}{{\text{s}}^{\text{4}}}\text{x=1-2si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{xco}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{x}$
 

b, $\displaystyle \text{si}{{\text{n}}^{\text{6}}}\text{x+co}{{\text{s}}^{\text{6}}}\text{x=1-3si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{xco}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{x}$

c, $\displaystyle \text{ta}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x = si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x+si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x}\text{.ta}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x}$

d, $\displaystyle \text{si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x}\text{.tanx + co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{x}\text{.cotx + 2sinx}\text{.cosx = tanx + cotx}$

Bài 6: Chứng minh các đẳng thức dưới đây:  

a, $\displaystyle \frac{{\text{1-2co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{x}}}{{\text{si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x}\text{.co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{x}}}\text{ = ta}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x-co}{{\text{t}}^{\text{2}}}\text{x}$

b, $\displaystyle \frac{{\text{1+si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x}}}{{\text{1-si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x}}}\text{ = 1+2ta}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x}$

c, $\displaystyle \frac{{\text{cosx}}}{{\text{1+sinx}}}\text{+tanx = }\frac{\text{1}}{{\text{cosx}}}$

d, $\displaystyle \frac{{\text{sinx}}}{{\text{1+cosx}}}\text{+}\frac{{\text{1+cosx}}}{{\text{sinx}}}\text{ = }\frac{\text{2}}{{\text{sinx}}}$

e, $\displaystyle \frac{{\text{1-sinx}}}{{\text{cosx}}}\text{ = }\frac{{\text{cosx}}}{{\text{1+sinx}}}$

f, $\displaystyle \frac{{\text{sinx+cosx-1}}}{{\text{sinx-cosx+1}}}\text{ = }\frac{{\text{cosx}}}{{\text{1+sinx}}}$

Bài 7: Chứng minh các biểu thức sau đây độc lập đối với x:

$\displaystyle \begin{array}{l}\text{A=2}\left( {\text{si}{{\text{n}}^{\text{6}}}\text{x+co}{{\text{s}}^{\text{6}}}\text{x}} \right)\text{-3}\left( {\text{si}{{\text{n}}^{\text{4}}}\text{x+co}{{\text{s}}^{\text{4}}}\text{x}} \right)\text{;   B=co}{{\text{s}}^{\text{4}}}\text{x}\left( {\text{2co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{x-3}} \right)\text{+si}{{\text{n}}^{\text{4}}}\text{x}\left( {\text{2si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x-3}} \right)\\\text{C=2}{{\left( {\text{si}{{\text{n}}^{\text{4}}}\text{x+co}{{\text{s}}^{\text{4}}}\text{x+si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{xco}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{x}} \right)}^{\text{2}}}\text{-}\left( {\text{si}{{\text{n}}^{\text{8}}}\text{x+co}{{\text{s}}^{\text{8}}}\text{x}} \right)\text{;   D=3}\left( {\text{si}{{\text{n}}^{\text{8}}}\text{x-co}{{\text{s}}^{\text{8}}}\text{x}} \right)\text{+4}\left( {\text{co}{{\text{s}}^{\text{6}}}\text{x-2si}{{\text{n}}^{\text{6}}}\text{x}} \right)\text{+6si}{{\text{n}}^{\text{4}}}\text{x}\\\text{E=}\sqrt{{\text{si}{{\text{n}}^{\text{4}}}\text{x+4co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{x}}}\text{+}\sqrt{{\text{co}{{\text{s}}^{\text{4}}}\text{x+4si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x}}}\text{;   F=}\frac{{\text{si}{{\text{n}}^{\text{6}}}\text{x+co}{{\text{s}}^{\text{6}}}\text{x-1}}}{{\text{si}{{\text{n}}^{\text{4}}}\text{x+co}{{\text{s}}^{\text{4}}}\text{x-1}}}\text{;    G=}\frac{{\text{si}{{\text{n}}^{\text{4}}}\text{x+3co}{{\text{s}}^{\text{4}}}\text{x-1}}}{{\text{si}{{\text{n}}^{\text{6}}}\text{x+co}{{\text{s}}^{\text{6}}}\text{x+3co}{{\text{s}}^{\text{4}}}\text{x-1}}}\\\text{H=cosx}\sqrt{{\text{1-sinx}\sqrt{{\text{1-cosx}\sqrt{{\text{1-si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x}}}}}}}\text{+sinx}\sqrt{{\text{1-cosx}\sqrt{{\text{1-sinx}\sqrt{{\text{1-co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{x}}}}}}};(x\in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right])\end{array}$

Công thức lượng giác cơ bản cần phải nhớ

Đây chỉ là các công thức lượng giác cơ bản các em học sinh cần nắm vững để áp dụng vào giải các bài tập lượng giác từ dễ tới khó.

Tóm tắt các công thức lượng giác cơ bản cần phải nhớ:

1. Công thức cộng lượng giác

sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny.

sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny

cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny

cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny

tan(x+y)=$ \displaystyle \frac{{\tan x+\tan y}}{{1-\tan x\tan y}}$

tan(x-y)=$ \displaystyle \frac{{\tan x-\tan y}}{{1+\tan x\tan y}}$

2. Công thức nhân đôi lượng giác

sin2x=2sinxcosx

cos2x=$ \displaystyle {{\cos }^{2}}x$ - $ \displaystyle {{\sin }^{2}}x$=2$ \displaystyle {{\cos }^{2}}x$-1=1-2$ \displaystyle {{\sin }^{2}}x$

tanx=$ \displaystyle \frac{{2\tan x}}{{1-{{{\tan }}^{2}}x}}$

3. Công thức biến đổi tổng thành tích

sinx+siny=$ \displaystyle 2\frac{{\sin (x+y)}}{2}\cos \frac{{(x-y)}}{2}$

sinx-siny=$ \displaystyle 2\frac{{\cos (x+y)}}{2}\sin \frac{{(x-y)}}{2}$

cosx+cosy=$ \displaystyle 2\frac{{\cos (x+y)}}{2}\cos \frac{{(x-y)}}{2}$

cosx-cosy=-$ \displaystyle 2\frac{{\sin (x+y)}}{2}\sin \frac{{(x-y)}}{2}$

4. Công thức biến đổi tích thành tổng

sinxsiny=$ \displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}[\cos (x-y)-\cos (x+y)]$

cosxcosy=$ \displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}[\cos (x-y)+\cos (x+y)]$

sinxcosy=$ \displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}[\sin (x-y)+\sin (x+y)]$

cosxsiny=$ \displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}[\sin (x+y)-\sin (x-y)]$

$ \displaystyle \text{tanx+tany=}\frac{{\text{sin(x+y)}}}{{\text{cosx}\text{.cosy}}}$

$ \displaystyle \text{tanx-tany=}\frac{{\text{sin(x-y)}}}{{\text{cosx}\text{.cosy}}}$

$ \displaystyle \text{cotx+coty=}\frac{{\text{sin(x+y)}}}{{\text{sinx}\text{.siny}}}$

5. Công thức hạ bậc lượng giác

$ \displaystyle {{\sin }^{2}}x$=$ \displaystyle \frac{{\text{1-cos2x}}}{\text{2}}$

$ \displaystyle {{\cos }^{2}}x$=$ \displaystyle \frac{{\text{1+cos2x}}}{\text{2}}$

$ \displaystyle {{\tan }^{2}}x$=$ \displaystyle \frac{{\text{1-cos2x}}}{\text{1+cos2x}}$

6. Công thức mở rộng lượng giác

sin3x = 3sinx - 4$ \displaystyle {{\sin }^{2}}x$

cos3x= 4$ \displaystyle {{\cos }^{3}}x$ - 3cosx

$ \displaystyle \text{tan3x=}\frac{{\text{3tanx-ta}{{\text{n}}^{3}}x}}{{1-3\text{ta}{{\text{n}}^{2}}x}}$