Sách chuyên đề lượng giác

Sách Chuyên đề lượng giác và ứng dụng gồm 3 tập giúp các bạn ôn thi tốt phần lượng giác, củng cố kiến thức luyện thi THPT quốc gia 2017.

Nguồn: https://toancap3.com/chuyen-de-luong-giac-va-ung-dung-tron-bo-full/

Lý thuyết về lượng giác

Lượng giác, tiếng Anh Trigonometry (từ tiếng Hy Lạp trigōnon nghĩa là "tam giác" + metron "đo lường"). 

Nó là một nhánh toán học dùng để tìm hiểu về hình tam giác và sự liên hệ giữa cạnh của hình tam giác và góc độ của nó. Lượng giác chỉ ra hàm số lượng giác. Hàm số lượng giác diễn tả các mối liên kết và có thể áp dụng được để học những hiện tượng có chu kỳ, như sóng âm. Nhánh toán này được sinh ra từ thế kỷ thứ 3 trước công nguyên. Ban đầu nó là nhánh của toán hình học và được dùng chủ yếu để nghiên cứu thiên văn.[2] Lượng giác cũng là nền móng cho ngành nghệ thuật ứng dụng trong trắc địa.

Những bài học cơ bản về lượng giác thường được dạy ở trường lớp. Một là được dạy trong với khóa trước đại số hoặc khóa riêng biệt. Hàm số lượng giác được dùng rộng rãi trong nhánh toán học thuần túy và nhánh toán học ứng dụng. Ví dụ như phân tích Fourier và hàm số sóng. Đó là những thứ có yếu tố quan trọng trong nhiều nhánh của khoa học và công nghệ. Lượng giác hình cầu nghiên cứu hình tam giác trên hình cầu, bề mặt của hằng số độ cong dương, trong hình học elip. Nó là nguyên tắc cơ bản cho ngành thiên văn học và ngành hàng hải. Lương giác trên một bề mặt của độ cong âm thuộc hình học Hyperbol.

Lịch sử của lượng giác

Nguồn gốc của lượng giác được tìm thấy trong các nền văn minh của người Ai Cập, Babylon và nền văn minh lưu vực sông Ấn cổ đại từ trên 3000 năm trước. Các nhà toán học Ấn Độ cổ đại là những người tiên phong trong việc sử dụng tính toán các ẩn số đại số để sử dụng trong các tính toán thiên văn bằng lượng giác. Lagadha là nhà toán học duy nhất mà ngày nay người ta biết đã sử dụng hình học và lượng giác trong tính toán thiên văn học trong cuốn sách của ông Vedanga Jyotisha, phần lớn các công trình của ông đã bị tiêu hủy khi Ấn Độ bị người nước ngoài xâm lược.

Nhà toán học Hy Lạp Hipparchus vào khoảng năm 150 TCN đã biên soạn bảng lượng giác để giải các tam giác.

Một nhà toán học Hy Lạp khác, Ptolemy vào khoảng năm 100 đã phát triển các tính toán lượng giác xa hơn nữa.

Nhà toán học người Silesia là Bartholemaeus Pitiscus đã xuất bản công trình có ảnh hưởng tới lượng giác năm 1595 cũng như giới thiệu thuật ngữ này sang tiếng Anh và tiếng Pháp.

Một số nhà toán học cho rằng lượng giác nguyên thủy được nghĩ ra để tính toán các đồng hồ mặt trời, là một bài tập truyền thống trong các cuốn sách cổ về toán học. Nó cũng rất quan trọng trong đo đạc.

Lượng giác ngày nay

Có nhiều ứng dụng của lượng giác. Cụ thể có thể nói đến như là kỹ thuật của phép đo đạc tam giác được sử dụng trong thiên văn để đo khoảng cách tới các ngôi sao gần, trong địa lý để đo khoảng cách giữa các mốc giới hay trong các hệ thống hoa tiêu vệ tinh. Các lĩnh vực khác có sử dụng lượng giác còn có thiên văn (và vì thế là cả hoa tiêu trên đại dương, trong ngành hàng không và trong vũ trụ), lý thuyết âm nhạc, âm học, quang học, phân tích thị trường tài chính, điện tử học, lý thuyết xác suất, thống kê, sinh học, chiếu chụp y học (các loại chụp cắt lớp và siêu âm), dược khoa, hóa học, lý thuyết số (và vì thế là mật mã học), địa chấn học, khí tượng học, hải dương học và nhiều lĩnh vực của vật lý, đo đạc đất đai và địa hình, kiến trúc, ngữ âm học, kinh tế học, khoa công trình về điện, cơ khí, xây dựng, đồ họa máy tính, bản đồ học, tinh thể học v.v.

Mô hình hiện đại trừu tượng hóa của lượng giác- lượng giác hữu tỷ, bao gồm các khái niệm "bình phương sin của góc" và "bình phương khoảng cách" thay vì góc và độ dài - đã được tiến sĩ Norman Wildberger ở trường đại học tổng hợp New South Wales nghĩ ra.
Xem thêm: https://vi.wikipedia.org/wiki/L%C6%B0%E1%BB%A3ng_gi%C3%A1c

Chuyên đề lượng giác ôn luyện thi THPT quốc gia

Chuyên đề lượng giác ôn luyện thi THPT quốc gia giáo viên Phạm Bắc Tiến tổng hợp đầy đủ và chi tiết.

Phương pháp giải bài tập lượng giác cơ bản

Phương pháp giải bài tập lượng giác cơ bản với các dạng: phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc 2 đối với 1 hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất, phương trình đối xứng...

200 bài tập lượng giác có lời giải chi tiết

Bài tập lượng giác có lời giải chi tiết được các thầy cô chuyên luyện thi đại học cao đẳng biên soạn.

Bài tập về tính giá trị lượng giác

Hôm nay các em học sinh hãy ứng dụng các công thức đã cho để làm bài tập về tính giá trị lượng giác của các góc.

Bài 1: $\displaystyle \sin \alpha =-\frac{3}{5}\left( {\pi <\alpha <\frac{{3\pi }}{2}} \right).T\text{ }\!\!\acute{\mathrm{i}}\!\!\text{ nh cos}\alpha \text{,tan}\alpha \text{,cot}\alpha \text{.}$

Bài 2: Cho 5cosa + 4 = 0 Với $\displaystyle \left( {{{{180}}^{o}}<a<{{{270}}^{o}}} \right)$
 

Tính sina , tana, cota.

Bài 3: Cho $\displaystyle \tan {{15}^{o}}=2-\sqrt{3}.\,\,\,\,\,T\text{ }\!\!\acute{\mathrm{i}}\!\!\text{ nh}\,\,\text{sin1}{{\text{5}}^{\text{o}}},\cos {{15}^{o}},\cot {{15}^{o}}.$

Bài 4: Tính $\displaystyle A=\frac{{\tan x+\cot x}}{{\tan x-\cot x}}$ biết $\displaystyle \text{sinx = }\frac{\text{1}}{\text{3}}$

Tính $\displaystyle B=\frac{{2\sin x+3\cos x}}{{3\sin x-2\cos x}}$ biết tanx = -2

Tính $\displaystyle C=\frac{{{{{\sin }}^{2}}x+3\sin x\cos x-2{{{\cos }}^{2}}x}}{{1+4{{{\sin }}^{2}}x}}$ biết cotx = -3

Bài 5: Chứng minh:  

a, $\displaystyle \text{si}{{\text{n}}^{\text{4}}}\text{x+co}{{\text{s}}^{\text{4}}}\text{x=1-2si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{xco}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{x}$
 

b, $\displaystyle \text{si}{{\text{n}}^{\text{6}}}\text{x+co}{{\text{s}}^{\text{6}}}\text{x=1-3si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{xco}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{x}$

c, $\displaystyle \text{ta}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x = si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x+si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x}\text{.ta}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x}$

d, $\displaystyle \text{si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x}\text{.tanx + co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{x}\text{.cotx + 2sinx}\text{.cosx = tanx + cotx}$

Bài 6: Chứng minh các đẳng thức dưới đây:  

a, $\displaystyle \frac{{\text{1-2co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{x}}}{{\text{si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x}\text{.co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{x}}}\text{ = ta}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x-co}{{\text{t}}^{\text{2}}}\text{x}$

b, $\displaystyle \frac{{\text{1+si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x}}}{{\text{1-si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x}}}\text{ = 1+2ta}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x}$

c, $\displaystyle \frac{{\text{cosx}}}{{\text{1+sinx}}}\text{+tanx = }\frac{\text{1}}{{\text{cosx}}}$

d, $\displaystyle \frac{{\text{sinx}}}{{\text{1+cosx}}}\text{+}\frac{{\text{1+cosx}}}{{\text{sinx}}}\text{ = }\frac{\text{2}}{{\text{sinx}}}$

e, $\displaystyle \frac{{\text{1-sinx}}}{{\text{cosx}}}\text{ = }\frac{{\text{cosx}}}{{\text{1+sinx}}}$

f, $\displaystyle \frac{{\text{sinx+cosx-1}}}{{\text{sinx-cosx+1}}}\text{ = }\frac{{\text{cosx}}}{{\text{1+sinx}}}$

Bài 7: Chứng minh các biểu thức sau đây độc lập đối với x:

$\displaystyle \begin{array}{l}\text{A=2}\left( {\text{si}{{\text{n}}^{\text{6}}}\text{x+co}{{\text{s}}^{\text{6}}}\text{x}} \right)\text{-3}\left( {\text{si}{{\text{n}}^{\text{4}}}\text{x+co}{{\text{s}}^{\text{4}}}\text{x}} \right)\text{;   B=co}{{\text{s}}^{\text{4}}}\text{x}\left( {\text{2co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{x-3}} \right)\text{+si}{{\text{n}}^{\text{4}}}\text{x}\left( {\text{2si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x-3}} \right)\\\text{C=2}{{\left( {\text{si}{{\text{n}}^{\text{4}}}\text{x+co}{{\text{s}}^{\text{4}}}\text{x+si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{xco}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{x}} \right)}^{\text{2}}}\text{-}\left( {\text{si}{{\text{n}}^{\text{8}}}\text{x+co}{{\text{s}}^{\text{8}}}\text{x}} \right)\text{;   D=3}\left( {\text{si}{{\text{n}}^{\text{8}}}\text{x-co}{{\text{s}}^{\text{8}}}\text{x}} \right)\text{+4}\left( {\text{co}{{\text{s}}^{\text{6}}}\text{x-2si}{{\text{n}}^{\text{6}}}\text{x}} \right)\text{+6si}{{\text{n}}^{\text{4}}}\text{x}\\\text{E=}\sqrt{{\text{si}{{\text{n}}^{\text{4}}}\text{x+4co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{x}}}\text{+}\sqrt{{\text{co}{{\text{s}}^{\text{4}}}\text{x+4si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x}}}\text{;   F=}\frac{{\text{si}{{\text{n}}^{\text{6}}}\text{x+co}{{\text{s}}^{\text{6}}}\text{x-1}}}{{\text{si}{{\text{n}}^{\text{4}}}\text{x+co}{{\text{s}}^{\text{4}}}\text{x-1}}}\text{;    G=}\frac{{\text{si}{{\text{n}}^{\text{4}}}\text{x+3co}{{\text{s}}^{\text{4}}}\text{x-1}}}{{\text{si}{{\text{n}}^{\text{6}}}\text{x+co}{{\text{s}}^{\text{6}}}\text{x+3co}{{\text{s}}^{\text{4}}}\text{x-1}}}\\\text{H=cosx}\sqrt{{\text{1-sinx}\sqrt{{\text{1-cosx}\sqrt{{\text{1-si}{{\text{n}}^{\text{2}}}\text{x}}}}}}}\text{+sinx}\sqrt{{\text{1-cosx}\sqrt{{\text{1-sinx}\sqrt{{\text{1-co}{{\text{s}}^{\text{2}}}\text{x}}}}}}};(x\in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right])\end{array}$

Công thức lượng giác cơ bản cần phải nhớ

Đây chỉ là các công thức lượng giác cơ bản các em học sinh cần nắm vững để áp dụng vào giải các bài tập lượng giác từ dễ tới khó.

Tóm tắt các công thức lượng giác cơ bản cần phải nhớ:

1. Công thức cộng lượng giác

sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny.

sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny

cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny

cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny

tan(x+y)=$ \displaystyle \frac{{\tan x+\tan y}}{{1-\tan x\tan y}}$

tan(x-y)=$ \displaystyle \frac{{\tan x-\tan y}}{{1+\tan x\tan y}}$

2. Công thức nhân đôi lượng giác

sin2x=2sinxcosx

cos2x=$ \displaystyle {{\cos }^{2}}x$ - $ \displaystyle {{\sin }^{2}}x$=2$ \displaystyle {{\cos }^{2}}x$-1=1-2$ \displaystyle {{\sin }^{2}}x$

tanx=$ \displaystyle \frac{{2\tan x}}{{1-{{{\tan }}^{2}}x}}$

3. Công thức biến đổi tổng thành tích

sinx+siny=$ \displaystyle 2\frac{{\sin (x+y)}}{2}\cos \frac{{(x-y)}}{2}$

sinx-siny=$ \displaystyle 2\frac{{\cos (x+y)}}{2}\sin \frac{{(x-y)}}{2}$

cosx+cosy=$ \displaystyle 2\frac{{\cos (x+y)}}{2}\cos \frac{{(x-y)}}{2}$

cosx-cosy=-$ \displaystyle 2\frac{{\sin (x+y)}}{2}\sin \frac{{(x-y)}}{2}$

4. Công thức biến đổi tích thành tổng

sinxsiny=$ \displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}[\cos (x-y)-\cos (x+y)]$

cosxcosy=$ \displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}[\cos (x-y)+\cos (x+y)]$

sinxcosy=$ \displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}[\sin (x-y)+\sin (x+y)]$

cosxsiny=$ \displaystyle \frac{\text{1}}{\text{2}}[\sin (x+y)-\sin (x-y)]$

$ \displaystyle \text{tanx+tany=}\frac{{\text{sin(x+y)}}}{{\text{cosx}\text{.cosy}}}$

$ \displaystyle \text{tanx-tany=}\frac{{\text{sin(x-y)}}}{{\text{cosx}\text{.cosy}}}$

$ \displaystyle \text{cotx+coty=}\frac{{\text{sin(x+y)}}}{{\text{sinx}\text{.siny}}}$

5. Công thức hạ bậc lượng giác

$ \displaystyle {{\sin }^{2}}x$=$ \displaystyle \frac{{\text{1-cos2x}}}{\text{2}}$

$ \displaystyle {{\cos }^{2}}x$=$ \displaystyle \frac{{\text{1+cos2x}}}{\text{2}}$

$ \displaystyle {{\tan }^{2}}x$=$ \displaystyle \frac{{\text{1-cos2x}}}{\text{1+cos2x}}$

6. Công thức mở rộng lượng giác

sin3x = 3sinx - 4$ \displaystyle {{\sin }^{2}}x$

cos3x= 4$ \displaystyle {{\cos }^{3}}x$ - 3cosx

$ \displaystyle \text{tan3x=}\frac{{\text{3tanx-ta}{{\text{n}}^{3}}x}}{{1-3\text{ta}{{\text{n}}^{2}}x}}$